Wissenschaft
beschäftigt sich gerne mit einfachen Systemen, die nur
aus wenigen Komponenten bestehen, und von einfachen, linearen
Gesetzen beherrscht werden. Denn solche Systeme kann man einfach analysieren
und verstehen.
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Ein Betrunkener
sucht abends unter eine Laterne seinen Schlüssel. Gefragt,
wo er den Schlüssel denn verloren habe, deutet er weit weg
und sagt: "Dort hinten. Aber da ist es dunkel. Ich suche lieber hier,
wo es hell ist."
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____Die meisten realen Systeme bestehen
aber aus vielen Komponenten, und die Gesetze zwischen diesen Komponenten
sind nichtlinear (vereinfacht gesagt: es gilt
nicht "doppelt
so viel rein = doppelt so viel raus"). Solche Systeme nennt man komplex.
Sie entwickeln eine ganz eigene Dynamik, die zunächst verwirrend
und regellos aussieht, dabei aber trotzdem eine Reihe von interessanten
Gesetzmäßigkeiten aufweist. Das Gehirn ist so ein System,
aber auch Populationsdynamiken, soziale Interaktionen oder wirtschaftliche Abläufe lassen
sich als komplexe dynamische Systeme auffassen.
____In diesem Seminar wollen wir uns zunächst
mit den Begriffen Fraktal und Selbstähnlichkeit
beschäftigen. Denn komplexe Systeme zeigen in ihrer Dynamik häufig
selbstähnliche Strukturen mit fraktalen Dimensionen. Dabei lernen
wir Koch-Kurven (siehe oben), Mandelbrot-Mengen
und Apfelbäumchen (siehe rechts) kennen. Dann
studieren wir ein ganz einfaches nichtlineares System, das zum bekannten
Feigenbaum-Chaos führt. Daran wird der Begriff der Bifurkation
erläutert, und eine neue Naturkonstante, die Feigenbaumkonstante,
wird vorgestellt. Bei diesem und anderen chaotischen Systemen (Dreikörper-Problem)
wird deutlich, daß auch in einem deterministischen System kleinste
Änderungen auf Dauer beliebig große Änderungen hervorrufen
können: der bekannte "Schmetterlings-Effekt" (der Flügelschlag
eines Schmetterlings in Brasilien entscheidet darüber, ob in Texas
ein Tornado ausbricht; Lorenz, 1972). Wir lernen den Begriff des strange
attractors kennen. – Und was hat das mit dem Gehirn zu tun? Das Gehirn
ist ein massiv nichtlineares System, sowohl in seinem Gesamtverhalten als
auch in seinen Komponenten (Neuronen, Synapsen, bis hinunter zu dem Verhalten
von einzelnen Ionenkanälen und Proteinen). Die Dynamik chaotischer
Systeme kann daher als Metapher für die Dynamik des Gehirns verwendet
werden.
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Die Mandelbrot-Menge
ist eine selbstähnliche, fraktale Struktur, die bei der Untersuchung
des deterministischen Chaos auftritt.
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____Chaos läßt sich schon an Systemen mit nur wenigen
Komponenten studieren. Das Gehirn hat 10
10 Neurone.
Was kommt qualitativ Neues hinzu, wenn man Systeme mit vielen beteiligten
Komponenten betrachtet? Wir studieren zunächst sogenannte
emergente Eigenschaften, die sich aus den mikroskopischen Regeln nicht vorhersagen lassen, an Zellularautomaten (
artificial life). Dann wenden wir uns einem Modell zu, das ursprünglich zur
Beschreibung von Magnetizität entworfen wurde. Die sogenannten
Spin-Gläser sind aber auch bald als einfaches Modell
für die Aktivität neuronaler Netze (Hopfield-Netze) erkannt
worden. Auch hier studieren wir emergente Eigenschaften; dazu zählen
Phasenübergänge und
kritische
Punkte, wie sie auch in der Gehirndynamik (Schlaf/Wachphasen, Epilepsie)
eine Rolle spielen. Die Dynamik von Hopfield-Netzen wird mit der Gedächtnisdynamik
verglichen. Schließlich lassen wir die Beschränkungen des
Hopfield-Netzes fallen und studieren realistischere neuronale Netzwerke,
die sich nicht mehr einfach durch eine Energiefunktion beschreiben lassen.
Dabei treten Phänomene der
Selbstorganisation auf, wie sie
auch in neuronalen Karten zu beobachten sind.
____Das Seminar richtet sich an
Studierende
der Psychologie aller Semester, sowie an
Nebenfachstudierende.
Kenntnisse in linearer Algebra und Analysis werden weder vorausgesetzt
noch vermittelt – Ziel des Seminars ist nicht ein tieferes Verständnis
der zugrunde liegenden Mathematik. Vielmehr soll anhand von am Computer selbst
nachvollzogenen Beispielen im Sinne einer interaktiven
hands-on
Didaktik eine Grundlage für eine nicht-mathematische, aber dennoch solide
Intuition über die Dynamik komplexer Systeme erworben werden. Die Teilnehmer
sollen so in die Lage versetzt werden, seriöse Anwendungen der Theorie
komplexer Systeme von unseriöser Chaosmetaphorik zu unterscheiden. Die
Demonstrationen und Übungen werden in Matlab durchgeführt.
Programmierkenntnisse sind nicht erforderlich, wohl aber die Bereitschaft,
welche zu erwerben. Die Veranstaltung ist so organisiert, daß
Programmiererfahrene sich aus denjenigen Teilen ausklinken können,
die sich an Neulinge auf diesem Gebiet richten.
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