SS 2005, Seminar, Dienstag 1300 - 1600 = 3 x 45 Minuten plus Pausen
LS 15.U1

Dynamik komplexer Systeme

Christian Kaernbach

Was ist das?

Nein, das ist nicht die Küstenlinie Schleswig-Holsteins, sondern eine sogenannte Koch-Kurve mit der Dimension 1,2. Aber der Vergleich hinkt keineswegs: Es war die Küstenlinie Britanniens, die Mandelbrot (1967w) zur Illustration des Begriffs der fraktalen Dimension verwendete. Nichtganzzahlige Dimensionen wurden allerdings schon von Hausdorff (1919) definiert, und Kurven wie diese wurden von Koch schon 1904 beschrieben.
Wissenschaft beschäftigt sich gerne mit einfachen Systemen, die nur aus wenigen Komponenten bestehen, und von einfachen, linearen Gesetzen beherrscht werden. Denn solche Systeme kann man einfach analysieren und verstehen.

Ein Betrunkener sucht abends unter eine Laterne seinen Schlüssel. Gefragt, wo er den Schlüssel denn verloren habe, deutet er weit weg und sagt: "Dort hinten. Aber da ist es dunkel. Ich suche lieber hier, wo es hell ist."
____Die meisten realen Systeme bestehen aber aus vielen Komponenten, und die Gesetze zwischen diesen Komponenten sind nichtlinear (vereinfacht gesagt: es gilt nicht "doppelt so viel rein = doppelt so viel raus"). Solche Systeme nennt man komplex. Sie entwickeln eine ganz eigene Dynamik, die zunächst verwirrend und regellos aussieht, dabei aber trotzdem eine Reihe von interessanten Gesetzmäßigkeiten aufweist. Das Gehirn ist so ein System, aber auch Populationsdynamiken, soziale Interaktionen oder wirtschaftliche Abläufe lassen sich als komplexe dynamische Systeme auffassen.
____In diesem Seminar wollen wir uns zunächst mit den Begriffen Fraktal und Selbstähnlichkeit beschäftigen. Denn komplexe Systeme zeigen in ihrer Dynamik häufig selbstähnliche Strukturen mit fraktalen Dimensionen. Dabei lernen wir Koch-Kurven (siehe oben), Mandelbrot-Mengen und Apfelbäumchen (siehe rechts) kennen. Dann studieren wir ein ganz einfaches nichtlineares System, das zum bekannten Feigenbaum-Chaos führt. Daran wird der Begriff der Bifurkation erläutert, und eine neue Naturkonstante, die Feigenbaumkonstante, wird vorgestellt. Bei diesem und anderen chaotischen Systemen (Dreikörper-Problem) wird deutlich, daß auch in einem deterministischen System kleinste Änderungen auf Dauer beliebig große Änderungen hervorrufen können: der bekannte "Schmetterlings-Effekt" (der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien entscheidet darüber, ob in Texas ein Tornado ausbricht; Lorenz, 1972). Wir lernen den Begriff des strange attractors kennen. – Und was hat das mit dem Gehirn zu tun? Das Gehirn ist ein massiv nichtlineares System, sowohl in seinem Gesamtverhalten als auch in seinen Komponenten (Neuronen, Synapsen, bis hinunter zu dem Verhalten von einzelnen Ionenkanälen und Proteinen). Die Dynamik chaotischer Systeme kann daher als Metapher für die Dynamik des Gehirns verwendet werden.


Die Mandelbrot-Menge  ist eine selbstähnliche, fraktale Struktur, die bei der Untersuchung des deterministischen Chaos auftritt.
____Chaos läßt sich schon an Systemen mit nur wenigen Komponenten studieren. Das Gehirn hat 1010 Neurone. Was kommt qualitativ Neues hinzu, wenn man Systeme mit vielen beteiligten Komponenten betrachtet? Wir studieren zunächst sogenannte emergente Eigenschaften, die sich aus den mikroskopischen Regeln nicht vorhersagen lassen, an Zellularautomaten (artificial life). Dann wenden wir uns einem Modell zu, das ursprünglich zur Beschreibung von Magnetizität entworfen wurde. Die sogenannten Spin-Gläser sind aber auch bald als einfaches Modell für die Aktivität neuronaler Netze (Hopfield-Netze) erkannt worden. Auch hier studieren wir emergente Eigenschaften; dazu zählen Phasenübergänge und kritische Punkte, wie sie auch in der Gehirndynamik (Schlaf/Wachphasen, Epilepsie) eine Rolle spielen. Die Dynamik von Hopfield-Netzen wird mit der Gedächtnisdynamik verglichen. Schließlich lassen wir die Beschränkungen des Hopfield-Netzes fallen und studieren realistischere neuronale Netzwerke, die sich nicht mehr einfach durch eine Energiefunktion beschreiben lassen. Dabei treten Phänomene der Selbstorganisation auf, wie sie auch in neuronalen Karten zu beobachten sind.
____Das Seminar richtet sich an Studierende der Psychologie aller Semester, sowie an Nebenfachstudierende. Kenntnisse in linearer Algebra und Analysis werden weder vorausgesetzt noch vermittelt – Ziel des Seminars ist nicht ein tieferes Verständnis der zugrunde liegenden Mathematik. Vielmehr soll anhand von am Computer selbst nachvollzogenen Beispielen im Sinne einer interaktiven hands-on Didaktik eine Grundlage für eine nicht-mathematische, aber dennoch solide Intuition über die Dynamik komplexer Systeme erworben werden. Die Teilnehmer sollen so in die Lage versetzt werden, seriöse Anwendungen der Theorie komplexer Systeme von unseriöser Chaosmetaphorik zu unterscheiden. Die Demonstrationen und Übungen werden in Matlab durchgeführt. Programmierkenntnisse sind nicht erforderlich, wohl aber die Bereitschaft, welche zu erwerben. Die Veranstaltung ist so organisiert, daß Programmiererfahrene sich aus denjenigen Teilen ausklinken können, die sich an Neulinge auf diesem Gebiet richten.

Material zum download

Powerpoint
Matlab
Links und Stichworte zu diesem Thema
Fraktale Koch-Kurven Wikipedia
Chaos
Feigenbaum-Chaos
Wikipedia, Doppelpendel,
Dreikörperproblem: Google J002E3, Billard
Emergenz
Game of Life
Wonders of Math, Bitstorm
Phasenübergang
Ising
Java applet (Peter Young), Ernst Ising
Gedächtnisdynamik
Hopfield

Literatur:


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Zeitplan

01.03.
Einschreibungen
08.03.
Sonderurlaub: Umzug
15.03.
Einführung Thema, Matlab
22.03.
Osterferien
29.03.
Osterferien
05.04.
Einstiegsklausur Mathematik
12.04.
Fraktale
19.04.
koch.m
26.04.
koch.m, eigene Projekte
03.05.
Chaos
10.05.
feigenbaum.m, eigene Projekte
17.05.
Pfingstferien
24.05.
Game of Life, game.m, eigene Projekte
31.05.
Projekt-Show
07.06.
Phasendiagramm von Wasser, Feromagnetismus, Ising-Modell, Evaluation
14.06.
ising.m, eigene Projekte
21.06.
Hopfield, Vergessenskurven, mud trap
28.06.
Neuroreduktionismus